4. Точка О – центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV – ромб. Найдите угол STV. Ответ дайте в ГРАДУСАХ.

Решение задачи 4

Дано:

• OSTV — ромб.
• O — центр окружности.
• S, T, V — точки на окружности.

Найти: угол \( ∠ STV \).

Решение:

1. Так как OSTV — ромб, то все его стороны равны: \( OS = ST = TV = VO \).
2. Точки S, T, V лежат на окружности с центром O.
3. Отрезки \( OS \), \( OT \) и \( OV \) являются радиусами окружности.
4. Следовательно, \( OS = OT = OV = r \) (где \( r \) — радиус окружности).
5. Из того, что \( OS = ST = TV = VO \) (свойство ромба) и \( OS = OT = OV = r \) (свойство радиусов), следует, что все стороны ромба равны радиусу окружности: \( OS = ST = TV = VO = r \).
6. Рассмотрим треугольник \( ∆OST \). Стороны \( OS = OT = ST = r \). Следовательно, \( ∆OST \) — равносторонний.
7. Углы равностороннего треугольника равны \( 60^\circ \). Значит, \( ∠ SOT = 60^\circ \).
8. Рассмотрим треугольник \( ∆OTV \). Стороны \( OT = OV = TV = r \). Следовательно, \( ∆OTV \) — равносторонний.
9. Углы равностороннего треугольника равны \( 60^\circ \). Значит, \( ∆TOV = 60^\circ \).
10. Центральный угол \( ∠ SVT \) опирается на дугу \( ST \) и равен \( ∠ SOT = 60^\circ \).
11. Вписанный угол \( ∠ STV \) опирается на дугу \( SV \).
12. Центральный угол, опирающийся на дугу \( SV \), равен \( ∠ SOV = ∠ SOT + ∠ TOV = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
13. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
14. Следовательно, \( ∠ STV = \frac{1}{2} ∠ SOV = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ \).

Ответ: угол STV равен 60 градусам.