4. Точки M и K — середины рёбер A₁D₁ и DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого 6. Прямая MK пересекает плоскость ABC в точке L. Найдите длину отрезка LB.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(D(6,0,0)\), \(B(0,6,0)\), а вертикальная координата равна 6 на верхней грани. Тогда \(M(3,0,6)\), \(K(6,0,3)\).

Направляющий вектор прямой MK равен \((3,0,-3)\). Её точки имеют вид \((3+3t,0,6-3t)\). Плоскость ABC задаётся условием \(z=0\), откуда \(t=2\) и \(L(9,0,0)\).

По формуле расстояния:

\(LB=\sqrt{(9-0)^2+(0-6)^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Ответ: \(3\sqrt{13}\).