4. Точки P, K, L, M — середины сторон ромба ABCD. Докажите, что четырёхугольник PKLM — прямоугольник.

Поскольку P, K, L, M — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, применим теорему о средней линии треугольника.

1. В треугольнике ABC отрезок PK соединяет середины AB и BC, поэтому PK ∥ AC.
2. В треугольнике CDA отрезок LM соединяет середины CD и DA, поэтому LM ∥ AC. Значит, PK ∥ LM.
3. В треугольнике BCD отрезок KL соединяет середины BC и CD, поэтому KL ∥ BD.
4. В треугольнике DAB отрезок MP соединяет середины DA и AB, поэтому MP ∥ BD. Значит, KL ∥ MP.
5. Итак, PKLM — параллелограмм. Диагонали ромба AC и BD перпендикулярны, следовательно, PK ⟂ KL, поскольку PK ∥ AC и KL ∥ BD.
6. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, PKLM — прямоугольник.