4. Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом B, угол A=30°. BD — высота, CD=7 см. Найдите длину отрезка AD.

Так как \(\angle B=90°\), \(BD\) — высота к гипотенузе \(AC\). В прямоугольном треугольнике справедливо: \(AB^2=AC\cdot AD\), \(BC^2=AC\cdot CD\).

Поскольку \(\angle A=30°\), противолежащий катет вдвое меньше гипотенузы: \(BC=\frac{AC}{2}\). Тогда \(BC^2=\frac{AC^2}{4}\).

Из теоремы о высоте: \(\frac{AC^2}{4}=AC\cdot CD\), поэтому \(\frac{AC}{4}=CD=7\), откуда \(AC=28\) см.

Тогда \(AD=\frac{BC^2}{AB?}\) Удобнее использовать \(AB=\frac{\sqrt3}{2}AC=14\sqrt3\) и формулу \(AB^2=AC\cdot AD\): \(AD=\frac{(14\sqrt3)^2}{28}=21\) см.

Ответ: 21 см.