4. Треугольник ABC — равносторонний, BK — его бисектриса. Сумма длин отрезков AK и BC равна 27 см. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

1. Треугольник ABC — равносторонний, значит, все его стороны равны: AB = BC = AC.
2. BK — бисектриса равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике бисектриса также является медианой и высотой.
3. Так как BK — медиана, она делит сторону AC пополам: AK = KC = AC/2.
4. По условию, сумма длин отрезков AK и BC равна 27 см: AK + BC = 27 см.
5. Так как AB = BC = AC, то AK + AC = 27 см.
6. Также знаем, что AK = AC/2. Подставим это в уравнение: (AC/2) + AC = 27 см.
7. Приведём к общему знаменателю: (AC + 2AC)/2 = 27 см.
8. 3AC/2 = 27 см.
9. 3AC = 54 см.
10. AC = 54 см / 3 = 18 см.
11. Так как треугольник равносторонний, его периметр равен утроенной длине стороны: P = 3 * AC.
12. P = 3 * 18 см = 54 см.

Ответ: 54 см.