4) Треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС). BD-высота, угол АВС равен 120°, BD=5 м, АС= 9 м. Найдите периметр треугольника BDC.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, высота BD, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Так как BD — медиана, она делит основание AC пополам:

\( AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \) м.

Угол ABC = 120°.

Угол ABD = Угол CBD = \( \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BDC (угол BDC = 90°):

Угол C = \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Нам известны катеты BD = 5 м и DC = 4.5 м.

Найдем гипотенузу BC, используя теорему Пифагора:

\( BC^2 = BD^2 + DC^2 \)

\( BC^2 = 5^2 + (4.5)^2 \)

\( BC^2 = 25 + 20.25 \)

\( BC^2 = 45.25 \)

\( BC = \sqrt{45.25} \approx 6.73 \) м.

Периметр треугольника BDC равен сумме длин его сторон:

\( P_{BDC} = BD + DC + BC \)

\( P_{BDC} = 5 + 4.5 + \sqrt{45.25} \)

\( P_{BDC} = 9.5 + \sqrt{45.25} \approx 9.5 + 6.73 \approx 16.23 \) м.

Ответ: Периметр треугольника BDC равен \( 9.5 + \sqrt{45.25} \) м, что приблизительно составляет 16.23 м.