4. Треугольник MPK равнобедренный, его основание MK равно 16 м, а периметр равен 52 м. Найдите длины отрезков AM и AP (где A — точка касания вписанной окружности со стороной MP).

Равные боковые стороны треугольника имеют длину (52 − 16) : 2 = 18 м.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: MA = MC, KB = KC, PA = PB. Поскольку треугольник равнобедренный, его боковые стороны MP и PK равны, а соответствующие отрезки касательных у основания симметричны: MC = CK. Поэтому MC = CK = 16 : 2 = 8 м.

Следовательно, AM = MC = 8 м. На стороне MP: AP = MP − AM = 18 − 8 = 10 м.

Ответ: AM = 8 м, AP = 10 м.