4. Упростить выражение: \(\dfrac{a^{2/3}+b^{2/3}}{a-b}-\dfrac{1}{a^{1/3}+b^{1/3}}\).

Положим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда \(a-b=x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\), а \(a^{2/3}+b^{2/3}=x^2+y^2\).

Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}-\frac1{x+y}=\frac{(x^2+y^2)(x+y)-(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)}.\]

Числитель равен \(2y(x^2+y^2)\). Возвращаясь к \(a,b\), получаем

\[\frac{2\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})}{(a-b)(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})}.\]

При этом исходное выражение определено, когда \(a\ne b\) и \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\ne0\).

Ответ: \(\dfrac{2\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})}{(a-b)(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})}\).