4. Упростить выражение \((\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^2+(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^2:\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}\).

На изображении знак между второй скобкой в квадрате и дробью читается неоднозначно: это может быть деление (двоеточие) или умножение (точка). Решим оба варианта. Предполагается, что выражения определены.

Если стоит деление: положим \(x=\sqrt[4]{a}\), \(y=\sqrt[4]{b}\). Тогда \(\sqrt a=x^2\), \(\sqrt b=y^2\), а \(a-b=(x^2-y^2)(x^2+y^2)\). Получаем:

\((x-y)^2+(x+y)^2:\frac{x^2+y^2}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}=2(x^2+y^2)+x^2-y^2=3x^2+y^2\).

Итак, результат при делении: \(3\sqrt a+\sqrt b\).

Если стоит умножение:

\((x-y)^2+(x+y)^2\cdot\frac{x^2+y^2}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}=(x-y)^2+\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}\).

Так как \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), второй вариант упрощается до \((x-y)^2+\frac{x+y}{x-y}\), то есть \((\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^2+\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{\sqrt a-\sqrt b}\).