4) Упростите дробные выражения: а) $\frac{9y+1}{y^2-4}-\frac{y-8}{4-y^2}+\frac{1-7y}{y^2-4}$; б) $\frac{3x}{x^3-1}-\frac{4x-1}{1-x^3}-\frac{x^2}{1-x^3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4) Упростите дробные выражения: а) $\frac{9y+1}{y^2-4}-\frac{y-8}{4-y^2}+\frac{1-7y}{y^2-4}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Так как $4-y^2=-(y^2-4)$, второй член меняет знак при приведении к знаменателю $y^2-4$:
$\frac{9y+1}{y^2-4}+\frac{y-8}{y^2-4}+\frac{1-7y}{y^2-4}=\frac{9y+1+y-8+1-7y}{y^2-4}=\frac{3y-6}{(y-2)(y+2)}$.
Сокращаем общий множитель: $\frac{3(y-2)}{(y-2)(y+2)}=\frac3{y+2}$, где $y\ne\pm2$.
б) Используем $1-x^3=-(x^3-1)$:
$\frac{3x}{x^3-1}+\frac{4x-1}{x^3-1}+\frac{x^2}{x^3-1}=\frac{x^2+7x-1}{x^3-1}$.
Знаменатель раскладывается: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. Общих множителей с числителем нет, поэтому дробь дальше не сокращается; $x\ne1$.

Ответ: а) $\frac3{y+2}$; б) $\frac{x^2+7x-1}{x^3-1}$.

4) Упростите дробные выражения: а) \(\frac{9y+1}{y^2-4}-\frac{y-8}{4-y^2}+\frac{1-7y}{y^2-4}\); б) \(\frac{3x}{x^3-1}-\frac{4x-1}{1-x^3}-\frac{x^2}{1-x^3}\).