4. Упростите логические выражения и определите их истинность: а) A & ¬(A ∨ B) ⇔ (B ⇒ A ∧ ¬B); б) ((A ∨ ¬B) ⇒ B) & (¬A ∨ ¬B).

а) Упростим левую часть эквивалентности: \(A\land\neg(A\lor B)=A\land\neg A\land\neg B=0\). Правая часть: \(B\to(A\land\neg B)=\neg B\lor(A\land\neg B)=\neg B\). Поэтому \(0\leftrightarrow\neg B=\neg(\neg B)=B\). Выражение не является постоянной истиной: оно истинно при \(B=1\), ложно при \(B=0\).

б) \(((A\lor\neg B)\to B)\land(\neg A\lor\neg B)=[\neg(A\lor\neg B)\lor B]\land(\neg A\lor\neg B)\). Первая скобка упрощается: \((\neg A\land B)\lor B=B\). Тогда \(B\land(\neg A\lor\neg B)=B\land\neg A\). Выражение истинно только при \(A=0, B=1\).

Ответ: а) \(B\), истинно при \(B=1\); б) \(\neg A\land B\), истинно при \(A=0, B=1\).