4. Упростите выражение: 1) (5√2-√18)√2; 2) 2⁻⁷⋅4⁻⁴/8⁻⁸

Решение:

1) Упростим выражение \( (5\sqrt{2} - \sqrt{18})\sqrt{2} \):

1. Вынесем множитель из-под корня: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \).
2. Подставим в выражение: \( (5\sqrt{2} - 3\sqrt{2})\sqrt{2} \).
3. Выполним вычитание в скобках: \( (2\sqrt{2})\sqrt{2} \).
4. Перемножим: \( 2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4 \).

2) Упростим выражение \( \frac{2^{-7} \cdot 4^{-4}}{8^{-8}} \):

1. Представим все основания степеней как степень двойки: \( 4 = 2^2 \), \( 8 = 2^3 \).
2. Подставим: \( \frac{2^{-7} \cdot (2^2)^{-4}}{(2^3)^{-8}} \).
3. Используем свойство \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( \frac{2^{-7} \cdot 2^{-8}}{2^{-24}} \).
4. Используем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \( \frac{2^{-7 + (-8)}}{2^{-24}} = \frac{2^{-15}}{2^{-24}} \).
5. Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 2^{-15 - (-24)} = 2^{-15 + 24} = 2^9 \).
6. Вычислим: \( 2^9 = 512 \).

Ответ: 1) 4; 2) 512.