7. Упростите выражение (6/(y²-9) + 1/(3-y)) * (y²+6y+9)/5

Решение:

Упростим выражение \( \left( \frac{6}{y^2 - 9} + \frac{1}{3 - y} \right) \cdot \frac{y^2 + 6y + 9}{5} \).

1. Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю. Знаменатель \( y^2 - 9 \) раскладывается как разность квадратов: \( (y-3)(y+3) \). Знаменатель \( 3-y \) можно записать как \( -(y-3) \).
2. Общий знаменатель: \( (y-3)(y+3) \).
3. \( \frac{6}{(y-3)(y+3)} + \frac{1}{-(y-3)} = \frac{6}{(y-3)(y+3)} - \frac{y+3}{(y-3)(y+3)} = \frac{6 - (y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{6 - y - 3}{(y-3)(y+3)} = \frac{3 - y}{(y-3)(y+3)} \).
4. Заметим, что \( 3-y = -(y-3) \), поэтому: \( \frac{-(y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{-1}{y+3} \).
5. Теперь умножим на вторую дробь: \( \frac{-1}{y+3} \cdot \frac{y^2 + 6y + 9}{5} \).
6. Числитель второй дроби \( y^2 + 6y + 9 \) является полным квадратом: \( (y+3)^2 \).
7. Выражение становится: \( \frac{-1}{y+3} \cdot \frac{(y+3)^2}{5} \).
8. Сократим \( y+3 \): \( \frac{-1}{1} \cdot \frac{y+3}{5} = \frac{-(y+3)}{5} = \frac{-y-3}{5} \).

Ответ: \( \frac{-y-3}{5} \).