4. Упростите выражение: 1) $\dfrac{x^3+125}{x^2-12x+36}\cdot\dfrac{x^2-36}{x^2-5x+25}-\dfrac{11x+66}{x-6}$; 2) $\left(\dfrac{a+4}{a-4}-\dfrac{a-4}{a+4}\right):\dfrac{48a}{16-a^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: 1) $\dfrac{x^3+125}{x^2-12x+36}\cdot\dfrac{x^2-36}{x^2-5x+25}-\dfrac{11x+66}{x-6}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Разложим многочлены на множители:

$x^3+125=(x+5)(x^2-5x+25)$, $x^2-12x+36=(x-6)^2$, $x^2-36=(x-6)(x+6)$, $11x+66=11(x+6)$.

Тогда

\[\frac{(x+5)(x^2-5x+25)}{(x-6)^2}\cdot\frac{(x-6)(x+6)}{x^2-5x+25}-\frac{11(x+6)}{x-6}=\frac{(x+6)(x+5)}{x-6}-\frac{11(x+6)}{x-6}.\]

Приводим к общей дроби и упрощаем:

\[\frac{(x+6)(x+5-11)}{x-6}=\frac{(x+6)(x-6)}{x-6}=x+6.\]

Ограничения исходного выражения: $x\ne6$, $x^2-5x+25\ne0$. Для действительных $x$ второе условие выполняется всегда.

Ответ: $x+6$, $x\ne6$.

2) В скобках приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{a+4}{a-4}-\frac{a-4}{a+4}=\frac{(a+4)^2-(a-4)^2}{(a-4)(a+4)}=\frac{16a}{a^2-16}.\]

Так как $16-a^2=-(a^2-16)$, имеем

\[\frac{48a}{16-a^2}=-\frac{48a}{a^2-16}.\]

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[\frac{16a}{a^2-16}:\left(-\frac{48a}{a^2-16}\right)=-\frac{1}{3}.\]

Ограничения исходного выражения: $a\ne4$, $a\ne-4$, а делитель не должен равняться нулю, поэтому $a\ne0$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$, $a\ne-4,0,4$.

4. Упростите выражение: 1) \(\dfrac{x^3+125}{x^2-12x+36}\cdot\dfrac{x^2-36}{x^2-5x+25}-\dfrac{11x+66}{x-6}\); 2) \(\left(\dfrac{a+4}{a-4}-\dfrac{a-4}{a+4}\right):\dfrac{48a}{16-a^2}\).