5. Докажите тождество: \(\left(\dfrac{a^2}{a+5}-\dfrac{a^3}{a^2+10a+25}\right):\left(\dfrac{a}{a+5}-\dfrac{a^2}{a^2-25}\right)=\dfrac{5a-a^2}{a+5}\).

Область допустимых значений: \(a\ne-5\) и \(a\ne5\); кроме того, делитель должен быть ненулевым.

Упростим первую скобку, учитывая, что \(a^2+10a+25=(a+5)^2\):

\[\frac{a^2}{a+5}-\frac{a^3}{(a+5)^2}=\frac{a^2(a+5)-a^3}{(a+5)^2}=\frac{5a^2}{(a+5)^2}.\]

Упростим вторую скобку, используя \(a^2-25=(a-5)(a+5)\):

\[\frac{a}{a+5}-\frac{a^2}{(a-5)(a+5)}=\frac{a(a-5)-a^2}{(a-5)(a+5)}=-\frac{5a}{(a-5)(a+5)}.\]

Делитель ненулевой при \(a\ne0\), поэтому дополнительно исключаем \(a=0\). Теперь делим:

\[\frac{5a^2}{(a+5)^2}:\left(-\frac{5a}{(a-5)(a+5)}\right)=-\frac{a(a-5)}{a+5}=\frac{5a-a^2}{a+5}.\]

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях \(a\), что и требовалось доказать.