4. Упростите выражение \(1 + \frac{15-x}{x^2-9} - \frac{x}{x+3}\)

Решение:

Разложим знаменатель \(x^2-9\) как разность квадратов: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\).

Приведём все дроби к общему знаменателю \((x-3)(x+3)\):

\(1 + \frac{15-x}{(x-3)(x+3)} - \frac{x}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{15-x}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}\)

\(= \frac{x^2-9 + 15-x - (x^2-3x)}{(x-3)(x+3)}\)

\(= \frac{x^2-9 + 15-x - x^2+3x}{(x-3)(x+3)}\)

\(= \frac{(x^2-x^2) + (-x+3x) + (-9+15)}{(x-3)(x+3)}\)

\(= \frac{2x+6}{(x-3)(x+3)}\)

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

\(= \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}\)

Сокращаем дробь на \((x+3)\), если \(x \neq -3\):

\(= \frac{2}{x-3}\)

Ответ: \(\frac{2}{x-3}\).