4. Упростите выражение: 1) $\frac{2y^2-5xy}{x^2-4y^2}-\frac{x}{2y-x}-\frac{y}{x+2y}$; 2) $\frac{x-1}{2x-6}-\frac1x-\frac{3x-3}{2x^2-6x}$; 3) $\frac{m+2}{4m^2-16m+16}-\frac1{3m-6}$; 4) $\frac{y+12}{8y+32}-\frac{y+4}{8y-32}+\frac9{y^2-16}$; 5) $\frac{a+2}{a^2+2a+4}-\frac1{a-2}+\frac{a^3+2a}{a^3-8}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: 1) $\frac{2y^2-5xy}{x^2-4y^2}-\frac{x}{2y-x}-\frac{y}{x+2y}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$ и $2y-x=-(x-2y)$. Приведём к общему знаменателю: $\frac{y(2y-5x)+x(x+2y)-y(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{x^2-4xy+4y^2}{x^2-4y^2}=\frac{(x-2y)^2}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{x-2y}{x+2y}$.
Разложим знаменатели и приведём к общему знаменателю $2x(x-3)$: $\frac{x(x-1)-2(x-3)-3(x-1)}{2x(x-3)}=\frac{(x-3)^2}{2x(x-3)}=\frac{x-3}{2x}$.
Так как $4m^2-16m+16=4(m-2)^2$, а $3m-6=3(m-2)$, то $\frac{3(m+2)-4(m-2)}{12(m-2)^2}=\frac{14-m}{12(m-2)^2}$.
Общий знаменатель — $8(y-4)(y+4)$: $\frac{(y+12)(y-4)-(y+4)^2+72}{8(y-4)(y+4)}=\frac{8}{8(y^2-16)}=\frac1{y^2-16}$.
Обозначим $Q=a^2+2a+4$. Поскольку $a^3-8=(a-2)Q$, первые и третье слагаемые объединяются так: $\frac{a+2+a(a^2+2)}{Q}-\frac1{a-2}=\frac{a^3+3a+2-(a^3-8)}{(a-2)Q}=\frac{3a+10}{a^3-8}$.

Ответ: