4. Упростите выражение: 1) $\frac{a+12}{4a+16}-\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}$; 2) $\frac{8a^3+36a}{a^3+27}-\frac{4a^2}{a^2-3a+9}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: 1) $\frac{a+12}{4a+16}-\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $4a+16=4(a+4)$, $4a-16=4(a-4)$, $a^2-16=(a-4)(a+4)$. Общий знаменатель равен $4(a-4)(a+4)$: \[\frac{(a+12)(a-4)-(a+4)^2+76}{4(a-4)(a+4)}=\frac{4a-4}{4(a-4)(a+4)}=\frac{a-1}{(a-4)(a+4)}.\] Ограничения исходного выражения: $a\ne\pm4$.
Используем формулу суммы кубов: $a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)$. Приводим к общему знаменателю: \[\frac{8a^3+36a-4a^2(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{24a(a-1)}{(a+3)(a^2-3a+9)}.\] Ограничение: $a\ne-3$. Множитель $a^2-3a+9$ действительных корней не имеет.

Ответ: 1) $\frac{a-1}{(a-4)(a+4)}$; 2) $\frac{24a(a-1)}{(a+3)(a^2-3a+9)}$.

4. Упростите выражение: 1) \(\frac{a+12}{4a+16}-\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}\); 2) \(\frac{8a^3+36a}{a^3+27}-\frac{4a^2}{a^2-3a+9}\).