4. Упростите выражение: 1) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b-a}$; 2) $\frac{x+7}{3x+12}-\frac{2}{x}+\frac{7x+40}{3x^2+12x}$; 3) $\frac{a-1}{3a^2+6a+3}-\frac{1}{2a+2}$; 4) $\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}$; 5) $\frac{a+3}{a^2+3a+9}-\frac{1}{a-3}+\frac{a^3+3a-9}{a^3-27}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: 1) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b-a}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и $b-a=-(a-b)$: $\frac{a^2+b^2-b(a-b)-b(a+b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}$.
Приводим к знаменателю $3x(x+4)$: $\frac{x(x+7)-6(x+4)+(7x+40)}{3x(x+4)}=\frac{(x+4)^2}{3x(x+4)}=\frac{x+4}{3x}$.
Разложим знаменатели: $3a^2+6a+3=3(a+1)^2$, $2a+2=2(a+1)$. Тогда $\frac{2(a-1)-3(a+1)}{6(a+1)^2}=-\frac{a+5}{6(a+1)^2}$.
Общий знаменатель — $4(y^2-4)$: $\frac{(y+6)(y-2)-(y+2)^2+20}{4(y^2-4)}=\frac{4}{4(y^2-4)}=\frac{1}{y^2-4}$.
Используем $a^3-27=(a-3)(a^2+3a+9)$. Приводим к общему знаменателю: $\frac{(a+3)(a-3)-(a^2+3a+9)+(a^3+3a-9)}{(a-3)(a^2+3a+9)}=\frac{a^3-27}{(a-3)(a^2+3a+9)}=1$.

Ответ: 1) $\frac{a-b}{a+b}$; 2) $\frac{x+4}{3x}$; 3) $-\frac{a+5}{6(a+1)^2}$; 4) $\frac{1}{y^2-4}$; 5) $1$.