4. Упростите выражение: 1) $\frac{x^3-64}{x^2+14x+49};\quad\frac{x^2-49}{x^2+4x+16}-\frac{77-11x}{x+7}$; 2) $\left(\frac{a-1}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}\right):\frac{2a}{1-a^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: 1) $\frac{x^3-64}{x^2+14x+49};\quad\frac{x^2-49}{x^2+4x+16}-\frac{77-11x}{x+7}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

В первой дроби разложим знаменатель на множители; сокращения с числителем нет:
$\frac{x^3-64}{x^2+14x+49}=\frac{x^3-64}{(x+7)^2}$.
Во втором выражении используем разность квадратов и равносильные преобразования:
$\frac{x^2-49}{x^2+4x+16}-\frac{77-11x}{x+7}=\frac{(x-7)(x+7)}{x^2+4x+16}+\frac{11(x-7)}{x+7}$.
Приведём к общему знаменателю и вынесем общий множитель:
$=\frac{(x-7)\big((x+7)^2+11(x^2+4x+16)\big)}{(x^2+4x+16)(x+7)}=\frac{(x-7)(12x^2+58x+225)}{(x^2+4x+16)(x+7)}$.
Сначала выполним вычитание в скобках:
$\frac{a-1}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}=\frac{(a-1)^2-(a+1)^2}{a^2-1}=\frac{-4a}{a^2-1}=\frac{4a}{1-a^2}$.
Теперь разделим на дробь, умножив на обратную:
$\frac{4a}{1-a^2}:\frac{2a}{1-a^2}=2$.
Исходное выражение определено при $a\ne -1,1,0$.

Ответ: 1) $\frac{x^3-64}{(x+7)^2};\ \frac{(x-7)(12x^2+58x+225)}{(x^2+4x+16)(x+7)}$; 2) $2$, где $a\ne -1,0,1$.

4. Упростите выражение: 1) \(\frac{x^3-64}{x^2+14x+49};\quad\frac{x^2-49}{x^2+4x+16}-\frac{77-11x}{x+7}\); 2) \(\left(\frac{a-1}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}\right):\frac{2a}{1-a^2}\).