4. Упростите выражение: а) $\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}$; б) $\left(\frac{3-2a}{2a}-\frac{1-a^2}{a^2}\right)\cdot\frac{a}{9a^2-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: а) $\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим $x^2-16=(x-4)(x+4)$ и объединим первые две дроби: \[\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}=\frac{2(x+4)-(x+8)}{(x-4)(x+4)}=\frac{x}{x^2-16}.\] Теперь вычтем $\frac1x$: \[\frac{x}{x^2-16}-\frac1x=\frac{x^2-(x^2-16)}{x(x^2-16)}=\frac{16}{x(x^2-16)}.\] Здесь $x\ne-4,0,4$.
б) В скобках приведём дроби к знаменателю $2a^2$: \[\frac{3-2a}{2a}-\frac{1-a^2}{a^2}=\frac{a(3-2a)-2(1-a^2)}{2a^2}=\frac{3a-2}{2a^2}.\] Учитывая $9a^2-1=(3a-1)(3a+1)$, получим \[\frac{3a-2}{2a^2}\cdot\frac{a}{9a^2-1}=\frac{3a-2}{2a(9a^2-1)}.\] Здесь $a\ne0,\ -\frac13,\ \frac13$.

Ответ: а) $\frac{16}{x(x^2-16)}$; б) $\frac{3a-2}{2a(9a^2-1)}$.

4. Упростите выражение: а) \(\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}\); б) \(\left(\frac{3-2a}{2a}-\frac{1-a^2}{a^2}\right)\cdot\frac{a}{9a^2-1}\).