№ 4. Упростите выражение: а) $\frac{m^2}{(m-n)^3}+\frac{n^2}{(n-m)^3}$; б) $\frac{t^2}{(t-2)^2}-\frac{4(t-1)}{(2-t)^2}$; в) $\frac6{9a^2-1}-\frac1{3a^2+a}$; г) $\frac1{a-3}+\frac{3a^2}{27-a^3}+\frac9{a^2+3a+9}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 4. Упростите выражение: а) $\frac{m^2}{(m-n)^3}+\frac{n^2}{(n-m)^3}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Так как $(n-m)^3=-(m-n)^3$, объединим дроби:

\[\frac{m^2}{(m-n)^3}+\frac{n^2}{(n-m)^3}=\frac{m^2-n^2}{(m-n)^3}=\frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^3}=\frac{m+n}{(m-n)^2}.\]

Здесь $m\ne n$.

б) Квадраты знаменателей равны, поскольку $(2-t)^2=(t-2)^2$:

\[\frac{t^2}{(t-2)^2}-\frac{4(t-1)}{(2-t)^2}=\frac{t^2-4(t-1)}{(t-2)^2}=\frac{t^2-4t+4}{(t-2)^2}=1.\]

Здесь $t\ne2$.

в) Разложим знаменатели на множители:

\[9a^2-1=(3a-1)(3a+1),\qquad 3a^2+a=a(3a+1).\]

Общий знаменатель — $a(3a-1)(3a+1)$:

\[\frac6{9a^2-1}-\frac1{3a^2+a}=\frac{6a-(3a-1)}{a(3a-1)(3a+1)}=\frac{3a+1}{a(3a-1)(3a+1)}=\frac1{a(3a-1)}.\]

Ограничения: $a\ne0$, $a\ne\frac13$, $a\ne-\frac13$.

г) Используем разложение разности кубов: $27-a^3=(3-a)(a^2+3a+9)=-(a-3)(a^2+3a+9)$. Приведём дроби к общему знаменателю $(a-3)(a^2+3a+9)$:

\[\frac1{a-3}+\frac{3a^2}{27-a^3}+\frac9{a^2+3a+9}=\frac{a^2+3a+9-3a^2+9(a-3)}{(a-3)(a^2+3a+9)}.\]

Числитель равен $-2a^2+12a-18=-2(a-3)^2$, поэтому

\[\frac{-2(a-3)^2}{(a-3)(a^2+3a+9)}=-\frac{2(a-3)}{a^2+3a+9}.\]

Здесь $a\ne3$.

Ответ: а) $\frac{m+n}{(m-n)^2}$; б) 1; в) $\frac1{a(3a-1)}$; г) $-\frac{2(a-3)}{a^2+3a+9}$.

№ 4. Упростите выражение: а) \(\frac{m^2}{(m-n)^3}+\frac{n^2}{(n-m)^3}\); б) \(\frac{t^2}{(t-2)^2}-\frac{4(t-1)}{(2-t)^2}\); в) \(\frac6{9a^2-1}-\frac1{3a^2+a}\); г) \(\frac1{a-3}+\frac{3a^2}{27-a^3}+\frac9{a^2+3a+9}\).