4. Упростите выражение: а) tg α · ctg α − sin² α; б) (1/cos² α − 1) · ctg² α; в) (√2 cos α − 2 cos(π/4 + α))/(2 sin(π/4 + α) − √2 sin α); г) cos² α − cos⁴ α + sin⁴ α; д) (sin² α + tg² α sin² α) ctg α; е) (1 − 2 cos² β)/(cos β + sin β); ж) (2 sin α cos β − sin(α − β))/(cos(α − β) − 2 sin α sin β); з) (1 − cos α + cos 2α)/(sin 2α − sin α); и) ctg² α (1 − cos 2α) + cos² α.

1. а) \( g\alpha\cdot\ctg\alpha-\sin^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\).
2. б) \((1/\cos^2\alpha-1)\ctg^2\alpha= g^2\alpha\cdot\ctg^2\alpha=1\).
3. в) Используем формулы сложения: числитель равен \(\sqrt2\sin\alpha\), знаменатель — \(\sqrt2\cos\alpha\). Частное равно \( g\alpha\).
4. г) \(\cos^2\alpha-\cos^4\alpha+\sin^4\alpha=\cos^2\alpha+(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha\).
5. д) \((\sin^2\alpha+ g^2\alpha\sin^2\alpha)\ctg\alpha=\sin^2\alpha(1+ g^2\alpha)\ctg\alpha= g^2\alpha\ctg\alpha= g\alpha\).
6. е) \((1-2\cos^2\beta)/(\cos\beta+\sin\beta)=-(\cos\beta-\sin\beta)(\cos\beta+\sin\beta)/(\cos\beta+\sin\beta)=\sin\beta-\cos\beta\).
7. ж) Числитель по формуле разности синусов равен \(\sin(\alpha+\beta)\), знаменатель равен \(\cos(\alpha+\beta)\). Частное равно \( g(\alpha+\beta)\).
8. з) Числитель \(1-\cos\alpha+\cos2\alpha=\cos\alpha(2\cos\alpha-1)\), знаменатель \(\sin\alpha(2\cos\alpha-1)\). После сокращения получаем \(\ctg\alpha\).
9. и) \(\ctg^2\alpha(1-\cos2\alpha)+\cos^2\alpha=2\ctg^2\alpha\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=3\cos^2\alpha\).

Ответ: а) cos² α; б) 1; в) tg α; г) sin² α; д) tg α; е) sin β − cos β; ж) tg(α + β); з) ctg α; и) 3 cos² α.