4. Упростите выражение $$\frac{\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^2 \cdot 1,5xy^5}{(0,5x^3y^2)^3}$$

Разбор задания:

Нам нужно упростить данное алгебраическое выражение, используя свойства степеней.

1. Возводим в степень числитель и знаменатель:
• Числитель:
• $$\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 = \frac{4}{9} x^4 y^2$$
• Теперь умножаем на $$1,5xy^5$$:
• $$\frac{4}{9} x^4 y^2 \cdot 1,5xy^5 = \frac{4}{9} x^4 y^2 \cdot \frac{3}{2}xy^5$$
• Умножаем коэффициенты: $$\frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$
• Умножаем переменные: $$x^4 \cdot x = x^{4+1} = x^5$$
• $$y^2 \cdot y^5 = y^{2+5} = y^7$$
• Числитель после упрощения: $$\frac{2}{3} x^5 y^7$$
• Знаменатель:
• $$(0,5x^3y^2)^3 = (0,5)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^2)^3$$
• $$(0,5)^3 = (1/2)^3 = 1/8$$
• $$(x^3)^3 = x^{3 \times 3} = x^9$$
• $$(y^2)^3 = y^{2 \times 3} = y^6$$
• Знаменатель после упрощения: $$\frac{1}{8} x^9 y^6$$
• Теперь делим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
• $$ \frac{\frac{2}{3} x^5 y^7}{\frac{1}{8} x^9 y^6} = \frac{2}{3} \div \frac{1}{8} \cdot \frac{x^5}{x^9} \cdot \frac{y^7}{y^6} $$
• Делим коэффициенты: $$\frac{2}{3} \div \frac{1}{8} = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3}$$
• Делим степени 'x': $$\frac{x^5}{x^9} = x^{5-9} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$$
• Делим степени 'y': $$\frac{y^7}{y^6} = y^{7-6} = y^1 = y$$
• Итоговое выражение: $$\frac{16}{3} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot y = \frac{16y}{3x^4}$$

Ответ: Вариант г) $$5\frac{1}{3} \frac{y}{x^4}$$.