4. Упростите выражение: \(\frac{x+y}{y} \cdot \left(\frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x}\right)\)

Решение:

Сначала приведём к общему знаменателю выражение в скобках:

\[ \frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x} = \frac{x \cdot x - (x-y)(x+y)}{x(x+y)} = \frac{x^2 - (x^2-y^2)}{x(x+y)} = \frac{x^2 - x^2 + y^2}{x(x+y)} = \frac{y^2}{x(x+y)} \]

Теперь умножим полученное выражение на \(\frac{x+y}{y}\):

\(\frac{x+y}{y} \cdot \frac{y^2}{x(x+y)}\)

Сокращаем \(x+y\) и \(y\) (остаётся \(y\) в числителе):

\(\frac{y}{x}\)

Ответ: \(\frac{y}{x}\).