5. Произведение двух положительных чисел равно 72. Найдите эти числа, если известно, что одно из них на 6 больше другого.

Решение:

Пусть одно число равно \(x\). Тогда другое число равно \(x+6\).

Их произведение равно 72:

\[ x(x+6) = 72 \]

Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению:

\(x^2 + 6x = 72\)

\(x^2 + 6x - 72 = 0\)

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-72) = 36 + 288 = 324\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18\)

Найдем корни:

\(x_1 = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6\)

\(x_2 = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12\)

Так как числа положительные, нам подходит \(x=6\).

Тогда второе число равно \(x+6 = 6+6 = 12\).

Проверка: \(6 \cdot 12 = 72\). Верно.

Ответ: 6 и 12.