4. Упростите выражение: \(\left(\frac{1}{a+b}-\frac{a}{b^2+ab}\right)\cdot\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right)\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Разложим знаменатели: \(b^2+ab=b(a+b)\), \(a^3-ab^2=a(a-b)(a+b)\), \(a^2-ab=a(a-b)\).

Первая скобка:

\[\frac{1}{a+b}-\frac{a}{b(a+b)}=\frac{b-a}{b(a+b)}.\]

Вторая скобка:

\[\frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}-\frac{b}{a(a-b)}=\frac{b^2-b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}=-\frac{b}{(a-b)(a+b)}.\]

Перемножим и учтём, что \(b-a=-(a-b)\):

\[\frac{b-a}{b(a+b)}\cdot\left(-\frac{b}{(a-b)(a+b)}\right)=\frac{1}{(a+b)^2}.\]

Ответ: \(\frac{1}{(a+b)^2}\).