4) Упростите выражение: \(\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x+y}:\frac{2x+2y}{xy}\right)\cdot\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}\).

Сначала выполним деление внутри скобок:

\(\frac{1}{x+y}:\frac{2x+2y}{xy}=\frac{1}{x+y}\cdot\frac{xy}{2(x+y)}=\frac{xy}{2(x+y)^2}\).

Теперь умножим каждое слагаемое в скобках на \(\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}\), учитывая \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\):

\(\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{xy}{2(x+y)^2}\right)\cdot\frac{x^2y^2}{(x-y)(x+y)}\)

\(=\frac{y^2}{(x-y)(x+y)}+\frac{x^2}{(x-y)(x+y)}+\frac{x^3y^3}{2(x-y)(x+y)^3}\).

Сложим первые два слагаемых и приведём к общему знаменателю:

\(\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)}+\frac{x^3y^3}{2(x-y)(x+y)^3}=\frac{2(x^2+y^2)(x+y)^2+x^3y^3}{2(x-y)(x+y)^3}\).

Ответ: \(\frac{2(x^2+y^2)(x+y)^2+x^3y^3}{2(x-y)(x+y)^3}\).

Ограничения исходного выражения: \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x+y\ne0\), \(x^2-y^2\ne0\).