4. Упростите выражение $$ (\sqrt{3}+2)^2 - 2^{-1} \cdot \sqrt{12} $$

Решение:

Сначала раскроем квадрат суммы \( (\sqrt{3}+2)^2 \):

$$ (\sqrt{3}+2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3} $$

Теперь упростим второе слагаемое \( 2^{-1} \cdot \sqrt{12} \):

$$ 2^{-1} = \frac{1}{2} $$$$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $$

Следовательно, второе слагаемое равно:

$$ \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} $$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$$ (7 + 4\sqrt{3}) - \sqrt{3} $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 7 + (4\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 7 + 3\sqrt{3} $$

Ответ: $$7 + 3\sqrt{3}$$.