6. Дана функция y = -x² + 6x - 5. а) Постройте её график. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3].

Решение:

а) Построение графика функции \( y = -x^2 + 6x - 5 \):

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (-1).

1. Найдём вершину параболы. Координата \( x_в \) находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( a = -1 \), \( b = 6 \).
   \( x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \).
   Найдем \( y_в \), подставив \( x_в = 3 \) в уравнение функции:
   \( y_в = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \).
   Вершина параболы находится в точке \( (3, 4) \).
2. Найдём точки пересечения с осями координат.
   С осью \( Oy \): при \( x = 0 \), \( y = -(0)^2 + 6(0) - 5 = -5 \). Точка \( (0, -5) \).
   С осью \( Ox \): при \( y = 0 \), \( -x^2 + 6x - 5 = 0 \). Умножим на -1: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \).
   Найдем корни квадратного уравнения: \( x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \).
   \( x_1 = \frac{6+4}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{6-4}{2} = 1 \). Точки \( (1, 0) \) и \( (5, 0) \).
3. Найдём дополнительные точки для построения.
   При \( x = 2 \): \( y = -(2)^2 + 6(2) - 5 = -4 + 12 - 5 = 3 \). Точка \( (2, 3) \).
   При \( x = 4 \): \( y = -(4)^2 + 6(4) - 5 = -16 + 24 - 5 = 3 \). Точка \( (4, 3) \).

б) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]:

Рассмотрим значения функции на заданном отрезке.

1. Значения функции на концах отрезка:
   При \( x = -1 \): \( y = -(-1)^2 + 6(-1) - 5 = -1 - 6 - 5 = -12 \).
   При \( x = 3 \): \( y = 4 \) (это вершина параболы, и она попадает в отрезок).
2. Значение функции в вершине параболы, если она попадает в отрезок.
   Вершина находится в точке \( x = 3 \), которая является правым концом отрезка. Значение \( y = 4 \).
3. Сравним полученные значения.
   Значения функции на концах отрезка и в вершине (если она попадает в отрезок): \( -12 \) и \( 4 \).

Наибольшее значение функции на отрезке [-1;3] достигается в вершине параболы (так как она попадает в отрезок), и оно равно 4.

Наименьшее значение функции на отрезке [-1;3] достигается на левом конце отрезка, и оно равно -12.