5. Моторная лодка прошла по течению реки 10 км и против течения 8 км, затратив на весь путь 1 час. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость движения моторной лодки против течения реки.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость моторной лодки (км/ч).

Скорость лодки по течению равна \( v + 2 \) км/ч.

Скорость лодки против течения равна \( v - 2 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{10}{v+2} \) час.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{8}{v-2} \) час.

Общее время в пути равно 1 час:

$$ t_1 + t_2 = 1 $$$$ \frac{10}{v+2} + \frac{8}{v-2} = 1 $$

Приведем дроби к общему знаменателю \( (v+2)(v-2) \):

$$ \frac{10(v-2) + 8(v+2)}{(v+2)(v-2)} = 1 $$$$ \frac{10v - 20 + 8v + 16}{v^2 - 4} = 1 $$$$ \frac{18v - 4}{v^2 - 4} = 1 $$

Умножим обе части на \( v^2 - 4 \) (при условии, что \( v \neq 2 \) и \( v \neq -2 \)):

$$ 18v - 4 = v^2 - 4 $$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ v^2 - 18v = 0 $$

Вынесем \( v \) за скобки:

$$ v(v - 18) = 0 $$

Отсюда получаем два возможных значения для \( v \): \( v = 0 \) или \( v = 18 \).

Поскольку собственная скорость лодки не может быть равна 0 (иначе она бы не двигалась), то \( v = 18 \) км/ч.

Нас просят найти скорость движения моторной лодки против течения реки, которая равна \( v - 2 \) км/ч.

$$ 18 - 2 = 16 $$

Ответ: 16 км/ч.