4. Упростите выражение: (x − 1)/(x^(3/4) − x^(1/2)) · (x^(1/2) − x^(1/4))/(x^(1/2) − 1) · x^(1/4) − 1.

Положим \(t=x^{1/4}\), где \(t>0\). Тогда \(x=t^4\), \(x^{1/2}=t^2\), \(x^{3/4}=t^3\).

Разложим на множители и сократим:

\(\frac{t^4-1}{t^3-t^2}\cdot\frac{t^2-t}{t^2-1}\cdot t-1=\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t^2(t-1)}\cdot\frac{t(t-1)}{(t-1)(t+1)}\cdot t-1\).

Сокращая общие множители, получаем \((t^2+1)-1=t^2\). Возвращаясь к переменной \(x\), имеем \(t^2=x^{1/2}=\sqrt{x}\).

В исходном выражении знаменатели обращаются в ноль при \(t=1\), поэтому область допустимых значений: \(x>0\), \(x\ne1\).

Ответ: \(\sqrt{x}\), при \(x>0\) и \(x\ne1\).