4. В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны и имеют общую середину. Является ли этот четырёхугольник квадратом?

Нет. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то четырёхугольник является параллелограммом. Перпендикулярные диагонали параллелограмма дают ромб, но не обязательно квадрат: равенство диагоналей не задано.

Например, ромб с углами 60° и 120° имеет перпендикулярные диагонали, которые делятся пополам, но не является квадратом.

Ответ: нет, не обязательно.