4. В единичном кубе A…D₁ найдите угол между прямыми BB₁ и A₁C.

Зададим координаты: B(1; 0; 0), B₁(1; 0; 1), A₁(0; 0; 1), C(1; 1; 0).

Направляющие векторы: \(\overrightarrow{BB_1}=(0;0;1)\), \(\overrightarrow{A_1C}=(1;1;-1)\). Поэтому

\(\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{BB_1}\cdot\overrightarrow{A_1C}|}{|\overrightarrow{BB_1}|\,|\overrightarrow{A_1C}|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\varphi=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx54{,}7°\).