4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M, N и P — середины рёбер AB, BC и A₁D₁ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью MNP.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0); вершины верхней грани имеют ту же первую и вторую координаты, а третья координата равна 1. Тогда M(0.5; 0; 0), N(1; 0.5; 0), P(0; 0.5; 1).

Плоскость через эти точки задаётся уравнением x − y + z = 0.5. На рёбрах куба она пересекает ещё рёбра CC₁ и C₁D₁ в точках Q и R соответственно, где Q и R — середины этих рёбер. Поэтому вершины сечения в порядке обхода: M, N, Q, R, P, S, где S — середина AA₁.

Соединим соседние точки этого списка. Полученное сечение — шестиугольник M N Q R P S.

Ответ: сечение — шестиугольник MNQRPS; Q — середина CC₁, R — середина C₁D₁, S — середина AA₁.