5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M, N и P — середины рёбер AA₁, B₁C₁ и CD соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью MNP.

Возьмём координаты A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0) и верхние вершины с координатой z = 1. Тогда M(0; 0; 0.5), N(1; 0.5; 1), P(0.5; 1; 0). Уравнение плоскости MNP: −x + y + z = 0.5.

Кроме заданных точек, плоскость пересекает рёбра A₁B₁, CC₁ и AD в точках T, Q и R соответственно; каждая из этих точек — середина соответствующего ребра. Обходя сечение по грани за гранью, получаем вершины M, T, N, Q, P, R. Соединим их в этом порядке.

Ответ: сечение — шестиугольник MTNQPR; T, Q и R — середины рёбер A₁B₁, CC₁ и AD соответственно.