4. В ΔMNP проведена медиана NK. Известно, что NK=MK, угол MNP равен 90°, угол NPK равен 44°. Найдите ∠KMN и ∠MNK.

Решение:

В условии задачи есть ошибка: медиана проведена из вершины N к стороне MP, обозначена как NK. Но далее указано, что NK=MK, где K — середина стороны MP (так как NK — медиана). Это означало бы, что MK = NK. Но для того, чтобы K была серединой MP, M, K, P должны лежать на одной прямой. Если K - середина MP, то MK = KP. Условие NK=MK означает, что в треугольнике NMP, медиана NK равна половине стороны MP. Это свойство выполняется только для прямоугольного треугольника, где гипотенуза MP является диаметром описанной окружности, а вершина N лежит на этой окружности.

Если \( \angle NMP = 90^{\circ} \), то NK — медиана, проведенная из вершины прямого угла N к гипотенузе MP. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть \( NK = \frac{1}{2} MP \). Так как K — середина MP, то \( MK = KP = \frac{1}{2} MP \). Следовательно, \( NK = MK = KP \).

В условии указано \( \angle MNP = 90^{\circ} \), а не \( \angle NMP = 90^{\circ} \). Давайте исправим условие, предположив, что \( \angle NMP = 90^{\circ} \), и K — середина MP.

Дано: \( \triangle NMP \), \( \angle NMP = 90^{\circ} \), NK — медиана (K — середина MP), \( NK = MK \), \( \angle NPK = 44^{\circ} \).

1. Так как \( NK = MK \), то \( \triangle NKM \) — равнобедренный. Значит, \( \angle KMN = \angle KNM \).

2. В \( \triangle NMP \), \( \angle NMP = 90^{\circ} \). \( NK \) — медиана к гипотенузе MP. Следовательно, \( NK = MK = KP \).

3. Рассмотрим \( \triangle NKP \). Так как \( NK = KP \), то \( \triangle NKP \) — равнобедренный. Углы при основании NP равны. \( \angle KNP = \angle KPN = 44^{\circ} \).

4. Теперь найдём \( \angle KMN \) (или \( \angle PMN \)) в прямоугольном \( \triangle NMP \).

\( \angle PMN + \angle NPK = 90^{\circ} \)

\( \angle PMN + 44^{\circ} = 90^{\circ} \)

\( \angle PMN = 90^{\circ} - 44^{\circ} = 46^{\circ} \).

Значит, \( \angle KMN = 46^{\circ} \).

5. Найдем \( \angle MNK \) (или \( \angle PNK \)).

\( \angle MNK = \angle NMP - \angle KNM \).

У нас \( \angle KNM = \angle KNP = 44^{\circ} \) (из \( \triangle NKP \)).

\( \angle MNK = 90^{\circ} - 44^{\circ} = 46^{\circ} \).

Проверим: \( \angle KMN = 46^{\circ} \), \( \angle MNK = 46^{\circ} \).

В \( \triangle KNM \), \( \angle NKM \) = \( 180^{\circ} - (46^{\circ} + 46^{\circ}) = 180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ} \).

Угол \( \angle NMP = 90^{\circ} \). В \( \triangle NMP \): \( \angle MPN = 44^{\circ} \), \( \angle PMN = 46^{\circ} \). Сумма углов: \( 90^{\circ} + 44^{\circ} + 46^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( \angle KMN = 46^{\circ} \), \( \angle MNK = 46^{\circ} \).