4. В окружность с центром O вписан треугольник REF со сторонами RE = 10, EF = 5, RF = 7. Найдите x = RO.

Найдём площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \(p=\dfrac{10+5+7}{2}=11\), поэтому \(S=\sqrt{11\cdot1\cdot6\cdot4}=2\sqrt{66}\).

Для радиуса описанной окружности \(R=\dfrac{RE\cdot EF\cdot RF}{4S}\):

\(x=RO=\dfrac{10\cdot5\cdot7}{4\cdot2\sqrt{66}}=\dfrac{175}{4\sqrt{66}}=\dfrac{175\sqrt{66}}{264}\approx5.39\).

Ответ: \(x=\dfrac{175\sqrt{66}}{264}\approx5.39\).