4. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°

Решение:

Так как AB — диаметр окружности, то угол ACB, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно:

$$∠ ACB = 90^°$$

Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Дуга AC равна разности между полной окружностью (360°) и дугой BC:

Дуга AC = 360° - Дуга BC = 360° - 134° = 226°

Однако, угол ABC опирается на меньшую дугу AC, которая равна 360° - 226° = 134°? Нет, нужно найти дугу AC. Если AB - диаметр, то дуга ACB = 180. Дуга AC = 180 - Дуга BC = 180 - 134 = 46°.

Угол ABC равен половине дуги AC:

$$∠ ABC = \frac{1}{2} · \text{Дуга } AC = \frac{1}{2} · 46^° = 23^°$$

Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Дуга BC равна 134°.

Угол BAC равен половине дуги BC:

$$∠ BAC = \frac{1}{2} · \text{Дуга } BC = \frac{1}{2} · 134^° = 67^°$$

Проверка: сумма углов треугольника должна быть 180°.

$$90^° + 23^° + 67^° = 180^°$$

Ответ: $$∠ ACB = 90^°$$, $$∠ ABC = 23^°$$, $$∠ BAC = 67^°$$