4. В окружность вписан треугольник REF со сторонами RE = 10, EF = 5 и RF = 7. O — центр окружности, RO = x. Найдите x.

Найдём площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр: \(p=(10+5+7)/2=11\).

\(S=\sqrt{11(11-10)(11-5)(11-7)}=\sqrt{264}=2\sqrt{66}\).

Радиус описанной окружности равен \(R=\dfrac{abc}{4S}\), поэтому \(x=RO=\dfrac{10\cdot5\cdot7}{4\cdot2\sqrt{66}}=\dfrac{175}{4\sqrt{66}}\approx5.38\).

Ответ: \(x=\dfrac{175}{4\sqrt{66}}\approx5.38\).