4. В окружности проведены диаметры DF и НК. Докажите, что прямые DK и FH параллельны.

Решение:

Дано: Окружность, диаметры DF и HK.

Доказать: DK || FH

Доказательство:

1. Так как DF и HK — диаметры, то они проходят через центр окружности (O).
2. Рассмотрим треугольники ODK и OFH.
3. OD = OK = OF = OH (радиусы окружности).
4. Угол ∠DOK = ∠FOH (вертикальные углы).
5. По двум сторонам и углу между ними (2 признак равенства треугольников), треугольники ODK и OFH равны.
6. Следовательно, DK = FH.
7. Рассмотрим треугольники OFD и OKH.
8. OF = OK = OD = OH (радиусы окружности).
9. Угол ∠FOK = ∠DOH (вертикальные углы).
10. По двум сторонам и углу между ними (2 признак равенства треугольников), треугольники OFD и OKH равны.
11. Следовательно, FD = KH.
12. Так как равные треугольники ODK и OFH имеют равные соответствующие углы, то ∠ODK = ∠OFH.
13. Эти углы являются накрест лежащими при прямых DK и FH и секущей DF.
14. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые DK и FH параллельны.

Что и требовалось доказать.