4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС из вершин А и В проведены биссектрисы, образующие при пересечении угол 100°. Найдите углы треугольника.

Решение:

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC (AC — основание) биссектрисы AK и BL пересекаются в точке O. Угол \( \angle AOB = 100^{\circ} \).

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то \( \angle BAC = \angle BCA \). Обозначим эти углы как \( \alpha \).

AK — биссектриса \( \angle BAC \), значит, \( \angle OAB = \angle KAC = \frac{\alpha}{2} \).

BL — биссектриса \( \angle ABC \), значит, \( \angle OBL = \angle LCA = \frac{\angle ABC}{2} \).

В треугольнике AOB: \( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \).

\( \frac{\alpha}{2} + \frac{\angle ABC}{2} + 100^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \frac{\alpha}{2} + \frac{\angle ABC}{2} = 80^{\circ} \).

\( \alpha + \angle ABC = 160^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).

\( \alpha + \angle ABC + \alpha = 180^{\circ} \).

\( 2\alpha + \angle ABC = 180^{\circ} \).

У нас есть система уравнений:

1. \( \alpha + \angle ABC = 160^{\circ} \)
2. \( 2\alpha + \angle ABC = 180^{\circ} \)

Вычтем из второго уравнения первое:

\( (2\alpha + \angle ABC) - (\alpha + \angle ABC) = 180^{\circ} - 160^{\circ} \).

\( \alpha = 20^{\circ} \).

Теперь найдем \( \angle ABC \) из первого уравнения:

\( 20^{\circ} + \angle ABC = 160^{\circ} \).

\( \angle ABC = 140^{\circ} \).

Проверим сумму углов треугольника ABC: \( 20^{\circ} + 140^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны 20°, 140°, 20°.