4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекаю- щиеся в точке М, МВ = 10 см, АМ = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM. 5. Прямоугольный треугольник с катетами 4 см вписан в окружность. Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности.

Решение:

Задача 4.

Пусть \( CM = x \) см. Тогда \( DM = 23 - x \) см.

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков каждой хорды равно:

\( AM × MB = CM × MD \)

Подставим известные значения:

\( 12 × 10 = x × (23 - x) \)

\( 120 = 23x - x^2 \)

\( x^2 - 23x + 120 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 × 1 × 120 = 529 - 480 = 49 \)

\( \sqrt{D} = 7 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

Возможны два случая:

1) \( CM = 15 \) см, \( DM = 23 - 15 = 8 \) см.

2) \( CM = 8 \) см, \( DM = 23 - 8 = 15 \) см.

Задача 5.

Прямоугольный треугольник с катетами \( a = 4 \) см и \( b \) вписан в окружность. Гипотенуза такого треугольника является диаметром окружности.

Пусть \( c \) - гипотенуза. \( c^2 = a^2 + b^2 \). Нам не дано второй катет, но дано, что это прямоугольный треугольник. Значит, один из катетов 4 см, а гипотенуза будет диаметром окружности.

Площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 \), где \( R \) - радиус вписанной окружности. Для описанного шестиугольника сторона \( a = R \).

В данном случае, окружность описана около прямоугольного треугольника. Гипотенуза треугольника является диаметром описанной окружности. Но нам не дан второй катет, и неизвестна гипотенуза.

Переформулируем условие: прямоугольный треугольник вписан в окружность. Это значит, что его гипотенуза является диаметром этой окружности. Однако, задача не даёт нам достаточно информации для определения радиуса этой окружности, если мы знаем только один катет.

Есть предположение, что в задании имелось в виду, что прямоугольный треугольник с катетами 4 см и неизвестным катетом b вписан в окружность. Или что гипотенуза равна 4 см. Если катеты 4 см, то гипотенуза \( c = \sqrt{4^2+b^2} \).

Давайте предположим, что в условии задачи имелось в виду, что один из катетов равен 4 см, а гипотенуза равна какому-то значению, которое мы должны найти.

Если вписанный прямоугольный треугольник имеет катеты 4 см и b, и его гипотенуза c является диаметром окружности D=c.

Площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} × R_{вп} ^2 \), где \( R_{вп} \) - радиус вписанной окружности.

Но в задаче сказано, что шестиугольник описан около данной окружности. То есть, окружность вписана в шестиугольник.

Сторона правильного шестиугольника \( a_{ш} \) связана с радиусом вписанной окружности \( R_{вп} \) соотношением \( a_{ш} = R_{вп} × \frac{2}{\sqrt{3}} \).

Площадь правильного шестиугольника \( S_{ш} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_{ш}^2 \).

Радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: \( R_{опис} = a_{ш} \).

Для прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, гипотенуза является диаметром окружности. Пусть катеты \( a=4 \) и \( b \), гипотенуза \( c \). Тогда \( c = 2R \), где \( R \) - радиус описанной окружности.

\( c = \sqrt{4^2 + b^2} = \sqrt{16 + b^2} \). \( R = \frac{\sqrt{16+b^2}}{2} \).

Площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности (т.е. окружность вписана в шестиугольник, \( R_{вп} \)), равна \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} R_{вп}^2 \).

Если шестиугольник описан около окружности, то радиус этой окружности \( R_{вп} \) является апофемой шестиугольника. Сторона шестиугольника \( a_{ш} = R_{вп} × \frac{2}{\sqrt{3}} \). Площадь \( S_{ш} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_{ш}^2 \).

Недостаточно данных для решения задачи 5.

Предположим, что в задаче имелось в виду, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 см.

Если гипотенуза \( c = 4 \) см, то диаметр описанной окружности \( D = 4 \) см, радиус \( R = 2 \) см.

Правильный шестиугольник, описанный около окружности радиусом \( R \), имеет сторону \( a_{ш} = R = 2 \) см.

Площадь правильного шестиугольника \( S_{ш} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_{ш}^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} × 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} × 4 = 6\sqrt{3} \) см².

Ответ: Длины отрезков CM и DM равны 15 см и 8 см (или наоборот). Площадь правильного шестиугольника (при условии, что гипотенуза = 4 см) = 6√3 см².