биссектриса угла я и равна 6 см. если угол CDA равен 60°. дите площадь трапеции, 4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекаю- щиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK. 5. Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Най- дите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.

Решение:

Задача 4.

Пусть \( BK = x \) см. Тогда \( DK = 28 - x \) см.

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков каждой хорды равно: \( AK \cdot BK = CK \cdot DK \).

Подставим известные значения: \( 8 \cdot x = 6 \cdot (28 - x) \).

Решим уравнение:

\( 8x = 168 - 6x \)

\( 8x + 6x = 168 \)

\( 14x = 168 \)

\( x = \frac{168}{14} \)

\( x = 12 \)

Значит, \( BK = 12 \) см.

\( DK = 28 - 12 = 16 \) см.

Задача 5.

Квадрат со стороной \( a = 8 \) см вписан в окружность. Диаметр окружности равен диагонали квадрата.

Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) см.

Радиус окружности \( R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Площадь прямоугольного треугольника с острым углом \( 30^{\circ} \), вписанного в окружность, равна половине произведения катетов. Гипотенуза этого треугольника является диаметром окружности.

Пусть \( c \) — гипотенуза, \( \alpha = 30^{\circ} \), \( \beta = 60^{\circ} \). Гипотенуза \( c = 2R = 8\sqrt{2} \) см.

Катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \): \( a = c \sin(30^{\circ}) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Катет, прилежащий к углу \( 30^{\circ} \): \( b = c \cos(30^{\circ}) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{6} \) см.

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{6}) = \frac{1}{2} \cdot 16 \sqrt{12} = 8 \sqrt{4 \cdot 3} = 8 \cdot 2 \sqrt{3} = 16\sqrt{3} \) см².

Ответ: Длины хорд ВК = 12 см, DK = 16 см. Площадь прямоугольного треугольника = 16√3 см².