4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М, МВ = 10 см, АМ = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM.

Задание 4. Хорды в окружности

Дано:

• Хорды AB и CD пересекаются в точке M.
• \( MB = 10 \) см.
• \( AM = 12 \) см.
• \( DC = 23 \) см.

Найти: длины \( CM \) и \( DM \).

Решение:

1. Для пересекающихся хорд в окружности выполняется свойство: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

• \( AM \cdot MB = CM \cdot DM \)

2. Длина хорды AB равна \( AB = AM + MB = 12 + 10 = 22 \) см.

3. Длина хорды DC равна \( DC = 23 \) см. Мы знаем, что \( DC = CM + DM \).

4. Из свойства пересекающихся хорд имеем: \( 12 \cdot 10 = CM \cdot DM \), то есть \( 120 = CM \cdot DM \).

5. У нас есть система уравнений:

• \( CM + DM = 23 \)
• \( CM \cdot DM = 120 \)

6. Решим эту систему. Из первого уравнения выразим \( DM = 23 - CM \) и подставим во второе уравнение:

• \( CM \cdot (23 - CM) = 120 \)
• \( 23 CM - CM^2 = 120 \)
• \( CM^2 - 23 CM + 120 = 0 \)

7. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

• \( D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \)
• \( \sqrt{D} = 7 \)

8. Найдем корни:

• \( CM_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.
• \( CM_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.

9. Если \( CM = 15 \) см, то \( DM = 23 - 15 = 8 \) см.

10. Если \( CM = 8 \) см, то \( DM = 23 - 8 = 15 \) см.

Оба варианта являются решением, так как порядок хорды не указан. Обычно принято, чтобы CM был меньше DM, но это не является строгим правилом.

Ответ: Отрезки хорды DC имеют длины 15 см и 8 см.