4. В окружности проведены две хорды АВ и СД, пересекающиеся в точке М, МВ = 10 см, АМ = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM.

Задание 4. Хорды в окружности

Дано:

• Хорды AB и CD пересекаются в точке M.
• \( MB = 10 \) см.
• \( AM = 12 \) см.
• \( DC = 23 \) см.

Найти: длины \( CM \) и \( DM \).

Решение:

1. По свойству пересекающихся хорд в окружности произведение отрезков каждой хорды равны:
\[ AM × MB = CM × DM \] \[ 12 × 10 = CM × DM \] \[ 120 = CM × DM \]
2. Мы знаем, что \( DC = DM + MC = 23 \) см.
3. Выразим \( CM \) через \( DM \): \( CM = 23 - DM \).
4. Подставим это выражение в уравнение произведения отрезков:
\[ 120 = (23 - DM) × DM \] \[ 120 = 23 × DM - DM^2 \]
5. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ DM^2 - 23 × DM + 120 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 × 1 × 120 = 529 - 480 = 49 \]
7. Найдем корни уравнения (значения \( DM \)):
\[ DM_1 = \frac{-b + ׳}{2a} = \frac{23 + ׳}{2 × 1} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] см. \[ DM_2 = \frac{-b - ׳}{2a} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] см.
8. Если \( DM = 15 \) см, то \( CM = 23 - 15 = 8 \) см.
9. Если \( DM = 8 \) см, то \( CM = 23 - 8 = 15 \) см.
10. Оба варианта удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Отрезки хорды CD равны 15 см и 8 см.