4. В окружности с центром O вписан треугольник REF: RE = 10, EF = 5, RF = 7. Найти угол x между RE и RO.

Сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \(p=(10+5+7)/2=11\), поэтому \(S=\sqrt{11\cdot1\cdot6\cdot4}=2\sqrt{66}\).

Радиус описанной окружности равен \(R=\frac{RE\cdot EF\cdot RF}{4S}=\frac{10\cdot5\cdot7}{8\sqrt{66}}=\frac{175}{4\sqrt{66}}\).

В треугольнике ROE радиусы RO и OE равны. По теореме косинусов для угла \(x=\angle ERO\): \(\cos x=\frac{RE}{2R}=\frac{20\sqrt{66}}{175}\).

Следовательно, \(x=\arccos\left(\frac{20\sqrt{66}}{175}\right)\approx21.6^\circ\).

Ответ: \(x\approx21.6^\circ\).