4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 124°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Поскольку CD ∥ AB, угол между прямыми AC и AB равен ∠ACD, то есть 124°. Обозначим O точку пересечения диагоналей. Векторы AO и OD лежат на диагоналях AC и BD; угол между диагоналями берём меньший.

Пусть AB = a, тогда AC = 2a. По теореме косинусов в треугольнике ABC:

BC² = (2a)² + a² − 2·2a·a·cos 124° = a²(5 − 4 cos 124°).

Для диагоналей параллелограмма выполняется закон параллелограмма: AC² + BD² = 2(AB² + BC²). Поэтому BD² = 2(a² + BC²) − 4a² = 2a²(1 − 4 cos 124°).

Найти угол между диагоналями можно также по скалярному произведению векторов AC и BD: его модуль равен |BC² − AB²|. Отсюда косинус меньшего угла равен 1/2, следовательно, этот угол составляет 60°.

Ответ: 60°.