4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 47°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(\vec{AB}=\mathbf b\), \(\vec{AD}=\mathbf d\). Тогда \(\vec{AC}=\mathbf b+\mathbf d\), а \(\vec{BD}=\mathbf d-\mathbf b\). Из условия \(|AC|=2|AB|\), то есть \(|\mathbf b+\mathbf d|=2|\mathbf b|\).

Угол \(ACD=47^\circ\) — угол между направлениями \(-\vec{AC}\) и \(-\mathbf b\), следовательно, угол между \(\mathbf b\) и \(\mathbf b+\mathbf d\) также равен 47°. Обозначим \(|\mathbf b|=s\), \(|\mathbf d|=t\). По теореме косинусов в треугольнике с векторами \(\mathbf b\) и \(\mathbf b+\mathbf d\): \(t^2=s^2+4s^2-4s^2\cos47^\circ\).

Скалярное произведение диагоналей даёт \((\mathbf b+\mathbf d)\cdot(\mathbf d-\mathbf b)=t^2-s^2=4s^2(1-\cos47^\circ)\). При этом \(|AC|=2s\), а \(|BD|=\sqrt{t^2+s^2-2st\cos\theta}\), где \(\theta\) — угол между сторонами; вычисление эквивалентно задаёт угол между диагоналями через \(\cos\varphi=\frac{t^2-s^2}{|AC||BD|}\).

Условие фиксирует модуль AC и угол между AC и AB, но не фиксирует направление AD относительно AB однозначно: для параллелограмма возможны разные положения вектора AD, удовлетворяющие этим данным. В частности, из уравнения для длины AD получается заданная длина, однако знак угла между сторонами (наклон AD по одну или другую сторону от AB) влияет на длину BD и угол между диагоналями.

Следовательно, по приведённым данным меньший угол между диагоналями однозначно определить нельзя. Нужен дополнительный признак, например указание вида параллелограмма или положения диагонали относительно сторон.