4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠D = 17°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим острый угол параллелограмма через \(\alpha\). Так как соседние углы параллелограмма в сумме равны \(180°\), то \(\alpha=180°-17°=163°\) для угла A, а угол B равен \(17°\).

Пусть \(AB=a\). Тогда \(AD=BC=b\), а по условию \(AC=2a\). По теореме косинусов в треугольнике ABC:

\(AC^2=a^2+b^2-2ab\cos17°\), поэтому \(4a^2=a^2+b^2-2ab\cos17°\).

Положим \(x=b/a\). Получаем \(x^2-2x\cos17°-3=0\), откуда положительный корень \(x=\cos17°+\sqrt{3+\cos^2 17°}\).

Угол между диагоналями определяется скалярным произведением векторов диагоналей. Если стороны параллелограмма заданы векторами \(u\) и \(v\), то диагонали имеют направления \(u+v\) и \(v-u\), а их скалярное произведение равно \(|v|^2-|u|^2=b^2-a^2\). Поэтому меньший угол \(\theta\) удовлетворяет \(\cos\theta=\frac{b^2-a^2}{AC\cdot BD}\). Здесь \(BD^2=a^2+b^2+2ab\cos17°\), следовательно, \(\theta\approx 9.0°\).

Ответ: примерно 9°.